Etiqueta: Diagrama de Caja

Diagrama de Caja con Python

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La estadística descriptiva nos ayuda a visualizar de forma rápida las características de la distribución en un grupo de datos (dataset), por medio de los valores de importancia de una forma simplificada, logrando tener un mejor entendimiento de la información colectada (Potter, 2016).

Por esta razón el diagrama de caja es una de las visualizaciones de datos utilizadas en la estadística descriptiva, permitiendo realizar análisis sin extraer conclusiones, por medio del resumen de los cinco valores que representa este tipo de diagrama (Faraldo y Pateiro, 2012; Anderson et al., 2016).

Anderson et al. (2016) hacen mención de que estos cinco valores son:

  1. Valor menor del conjunto de datos
  2. Primer Cuartil (Q1)
  3. Mediana (Q2)
  4. Tercer Cuartil (Q3)
  5. Valor mayor del conjunto de datos

Para entender un diagrama de caja y su elaboración con Matplotlib y Plotly utilizando Python, estaremos utilizando como datos de prueba la edad de las zarigüeyas extraído de Kaggle desde el siguiente link: https://www.kaggle.com/abrambeyer/openintro-possum, también el archivo de datos CSV se encuentra disponible en el repositorio de GitHub: https://github.com/sdesignca/blog-ps-diagrama-caja-python

Entendiendo un Diagrama de Caja

Antes de elaborar el diagrama de caja con Matplotlib y Plotly, definiremos de forma breve los conceptos básicos y los cálculos de los valores utilizados para esbozar un diagrama de caja, de una forma práctica. Por lo que estaremos utilizando los siguientes datos que corresponden a la edad de las zarigüeyas hembra:

01 - Edades Zarigueyas

Antes de iniciar a realizar los cálculos de los cinco valores, debemos ordenar los datos de forma ascendente, por lo que los datos nos quedan de la siguiente forma:

02 - Eddes zarigueyas ordenado

Ahora con los datos ordenados, podemos identificar que el valor mínimo de nuestro set de datos es 1 y el valor máximo es el 9. Por lo que calcularemos ahora la mediana (Q2). La cual es la posición central de nuestro conjunto de datos (dataset).

Si la cantidad de datos es par, la mediana corresponde al promedio de los dos valores centrales, por lo que primero se debe calcular la posición del valor central de la siguiente forma:

03 - Formula posición mediana

Donde n es el número de datos con los que contamos.

Luego de tener la posición, y al tener una cantidad de datos par, se debe calcular la mediana de la siguiente forma:

04 - Formula mediana

Pero si llegáramos a tener un conjunto de datos impar, al realizar el cálculo de la posición deberemos redondear el resultado al entero próximo. En nuestro caso contamos con 43 datos, siendo n impar, por que deberemos redondear el resultado que obtendremos, para identificar la posición central de nuestro conjunto de datos:

05 - Cálculo Posición Mediana

Ahora que tenemos la ubicación, debemos identificar el valor que se encuentra en la posición 22, en este caso el valor corresponde al valor 4:

06 - Identificación de Mediana

Por lo tanto:

07 - Cuartil 2

Teniendo la media identificada, debemos calcular el primer y tercer cuartil. Los cuartiles son percentiles específicos, siendo recomendable dividir los datos en cuatro partes iguales. La información que nos proporcionan, es la observación de la distribución de los datos menores o iguales al valor del percentil especifico. Donde es utilizado para el primer cuartil (Q1) del 25% y para el tercer cuartil (Q3) del 75%, en los diagramas de caja.

Para poder ejemplificar dicha distribución, mostraremos la división de los datos. Dichos valores los obtendremos con el calculo del cuartil Q1 y Q2:

08 - Distribución de Datos

Ahora procedemos a calcular el cuartil Q1, con la siguiente formula par el calculo del percentil:

09 - Formula Percentil Cuartil 1

Donde n es el número de datos con los que contamos.

Dado que nuestra n es de 43, y el percentil p que deseamos calcular es del 25%, por lo tanto:

10 - Cálculo Percentil de Cuartil 1

Dado que i no es un entero, y se tuvo que aproximar, el cuartil Q1 corresponde al valor de la posición 11 de nuestros datos, por lo tanto.

11 - Cuartil 1

Ahora debemos calcular el cuartil Q3 que corresponde a un percentil p del 75%.

12 - Cálculo percentil de cuartil 3

En esta ocasión la i no es un entero y se redondeó al entero superior, por lo que percentil Q3 corresponde al valor de la posición 33, por lo tanto.

13 - Cuartil 4

Ahora nos queda calcular el rango intercuartílico o intercuartil (RIC), el cual es la diferencia entre el tercer cuartil (Q3) y el primer cuartil (Q1).

14 - Formula rango intercuartílico

Además del cálculo del RIC, debemos calcular los limites de nuestro diagrama de caja, por lo que utilizamos la siguiente ecuación para el cálculo del límite inferior:

15 - Formula limite inferior

Para calcular el límite superior utilizamos la siguiente ecuación:

16 - Formula limite superior

Por lo que procedemos a iniciar con el calculo de nuestro rango intercuartílico:

17 - Cálculo RIC

Obteniendo nuestro RIC = 2, procedemos a calcular el límite inferior y superior:

18 - Cálculo límites

Con los datos calculados, podemos obtener la siguiente gráfica de caja.

19 - Edad Zarigueyas hembra

Es importante mencionar que los datos que se encuentren fuera de los límites calculados, serán observaciones atípicas en nuestros datos.

Gráfica de Caja con Python

Para poder iniciar la explicación, supondremos que el lector está familiarizado con la sintaxis de Python y con Jupyter Notebook, además de tener conocimiento sobre la carga de archivos CSV en Python con Pandas, donde los archivos de datos que estaremos utilizando; así como, el archivo de Jupyter con el código, puede ser descargados desde el siguiente repositorio en GitHub: https://github.com/sdesignca/blog-ps-diagrama-caja-python

Por lo que estaremos graficando las edades de las zarigüeyas por sexo (macho y hembra), cargando los datos de la columna “sex” (sexo) y “age” (edad) del archivo “possum.csv”. Iniciando por la importación de la librería Pandas con la siguiente instrucción:

import pandas as pd

Luego de importar la librería, asignaremos a nuestra variable “datos el DataFrame con las columnas deseadas (“sex” y “age”) de nuestro archivo “possum.csv”, el cual se encuentra en el mismo directorio que nuestro archivo de Jupyter Notebook. Si en dado caso nuestro archivo se encuentra en otra ubicación, debemos colocar la ruta (path) de nuestro archivo de datos junto con el nombre del archivo CSV.

datos = pd.read_csv( "possum.csv"
                    ,delimiter=','
                    ,usecols=['sex','age']
                    )

A lo largo de nuestra explicación, no se manipularán los datos contenidos en el DataFrame, por lo cual esta misma variable será utilizada para realizar la gráfica; tanto con Matplolib, como con Plotly.

Gráfica con Pandas y Matplotlib

Matplotlib es una librería utilizada para realizar gráficas estáticas, animadas y visualizaciones interactivas a partir de datos contenidos en listas, vectores y en su extensión matemática, la cual es NumPy (Potter, 2006).

La librería de Pandas trabaja en conjunto con NumPy y Matplotlib, por esta razón es posible utilizar una función propia del objeto creado con Pandas, agilizando el proceso de creación de gráficas, en la que si deseamos realizar cambios en la gráfica, debemos manipular el objeto de Matplotlib.

Para poder realizar la gráfica de caja con Matplotlib, necesitamos tener instalado el paquete, si no lo hemos instalado, podemos hacerlo por medio del comando pip o pip3. En nuestro caso haremos uso de pip3, ejecutando el siguiente comando desde la linea de comandos o terminal, para su instalación:

pip3 install matplotlib

Teniendo instalada la librería de Matplotlib, importamos el paquete en nuestro archivo de Jupyter Notebook de la siguiente forma, colocándole como alias plt:

import matplotlib.pyplot as plt

Haciendo uso de la variable datos, luego de cargar la información del archivo CSV. Utilizaremos el siguiente código para realizar la gráfica de caja, el cual deberemos ejecutar de forma conjunta en Jupyter Notebook, donde luego explicaremos linea por linea su funcionamiento.

ax = datos.boxplot(by='sex',grid=False,rot=45)
ax.set_title('Edad de Zarigüeyas por Sexo');
plt.suptitle('')
ax.set_xlabel("Sexo");
ax.set_ylabel("Edad (años)");
plt.xticks([1,2], ['Hembra', 'Macho'])
plt.show()

Si ejecutamos de forma individual cada instrucción en Jupyter Notebook, primero nos mostrará el diagrama de caja con sus parámetros por defecto (imagen 1), luego nos mostrara por separado el cambio a los ejes que realizamos (imagen 2).

Imagen 1: Gráfica de Matplolib sin modificaciones.

20 - gráfica sin transformacion

Imagen 2: Gráfica de Matplotlib solo con ejes modificados.

21 - gŕafica con eje modificado

Al ejecutar todo el fragmento de código en conjunto, obtenemos la gráfica con las modificaciones que realizamos:

22 - Gráfica de Matplotlib con transformaciones

Si revisamos el código con su funcionamiento, en la siguiente linea, utilizamos el método de boxplot de nuestro DataFrame. Donde nuestra segmentación del sexo de las zarigüeyas se encuentra en la columna sexo (sex); donde f es para las hembras y m es para los machos; por esta razón debemos agrupar los datos por los valores de esta columna. Esto lo hacemos con el parámetro by, donde nos agrupará la información del resto de columnas (en nuestro caso solo tenemos la columna age). El parámetro grid con el valor False, nos quita el grid del fondo de la gráfica, si quisiéramos que el grid apareciera podemos colocar True o eliminarlo, ya que el valor por defecto es True. El parámetro rot, se refiere a la rotación de la etiqueta de los valores (en nuestro caso f y m).

ax = datos.boxplot(by='sex',grid=False,rot=45)

Con la siguiente instrucción le asignamos el título de nuestra gráfica.

ax.set_title('Edad de Zarigüeyas por Sexo');

Con la siguiente instrucción colocamos el subtitulo de nuestra gráfica como vacía. Si no colocamos el subtitulo como vacío, nos aparecerá el valor generado por defecto, que en nuestro caso es la agrupación por sexo de las zarigüeyas.

plt.suptitle('')

Ahora colocamos el identificador de nuestro eje x con el valor “Sexo”:

ax.set_xlabel("Sexo");

Con la siguiente instrucción colocamos el identificador de nuestro eje Y con el valor “Edad (años)”:

ax.set_ylabel("Edad (años)");

Es importante tomar en consideración el siguiente punto, ya que vamos a cambiar con la siguiente instrucción la etiqueta de identificación a nuestras gráficas, por lo que debemos de saber a que valores corresponde el identificador. En nuestro caso, el valor 1 corresponde a la gráfica con los datos de las edades de las zarigüeyas hembra, y el valor 2 corresponde a los datos de las edades de las zarigüeyas macho, por lo que ponemos en el primer parámetro (ticks) los identificadores de los datos, y en el segundo parámetro (labels) le asignamos el nombre que tendrán los identificadores de los componentes de la gráfica.

plt.xticks([1,2], ['Hembra', 'Macho'])

Luego de las transformaciones realizadas a nuestra gráfica, la mostramos con la siguiente instrucción:

plt.show()

Gráfica con Plotly

Plotly es un framework open-source de Python, utilizado para poder crear aplicaciones web de gráficas interactivas, donde no es necesario el ser un experto en HTML, CSS y Javascript para crear dashboards de gráficas.

Para poder realizar la gráfica de caja con Plotly, necesitamos tener instalado el paquete, si no lo hemos instalado, podemos hacerlo por medio del comando pip o pip3. En nuestro caso haremos uso de pip3, ejecutando el siguiente comando para su instalación:

pip3 install plotly

Luego debemos de importar la librería de plotly con el alias px.

import plotly.express as px

Teniendo importada la librería, utilizaremos el método box de plotly para realizar la gráfica de caja, donde el primer parámetro del método corresponde a la variable que contiene el DataFrame con los datos que deseamos graficar; en nuestro caso dicha variable es datos. El siguiente parámetro que utilizaremos sera x, el cual nos sirve para indicar que datos se encontraran en el eje X de nuestra gráfica, que en nuestro caso es “sex”. El parámetro y nos sirve para indicar que datos del DataFrame estarán en el eje Y.

Con el parámetro points podemos indicar que información deseamos mostrar en nuestra gráfica, con la opción “outliers” (que es el parámetro por defecto) indicamos que nos muestre datos atípicos, con la opción “none” indicamos que no nos muestre los valores atípicos, ni la dispersión de los datos en la gráfica de caja. Y por último, la opción “all” nos muestra la dispersión de datos al lado del diagrama de caja y los valores atípicos.

El parámetro title nos sirve para indicar el nombre que tendrá nuestro diagrama, y el parámetro labels nos sirve para definirle el nombre en forma de diccionario a nuestros ejes.

fig = px.box( datos
             ,x="sex"
             ,y="age"
             ,points="outliers"
             ,title="Edad de Zarigüeyas por Sexo"
             ,labels={
                       "sex": "Sexo"
                      ,"age": "Edad (años)"
                     }
             )

Por último, mostramos nuestra gráfica con el siguiente comando:

fig.show()

Es importante mencionar que en Jupyter Notebook, nuestra gráfica se mostrara sin necesidad de utilizar este último comando.

23 - Gráfica Plotly

Referencias

Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T., Camm, J. y Cochran, J. (2016). Estadística para negocios y economía. 12va edición. Ciudad de México, México. CENGAGE Learning. 104, 108 – 110, 131 – 132 pp.

Faraldo, P. y Pateiro, B: (2012). Tema 1. Estadística Descriptiva. Extraído de: http://eio.usc.es/eipc1/BASE/BASEMASTER/FORMULARIOS-PHP-DPTO/MATERIALES/Mat_G2021103104_EstadisticaTema1.pdf

Kathari, S. (2020). Plotly Dash: A beginner’s guide to building an analytics dashboard. Extraído de: https://medium.com/analytics-vidhya/plotly-dash-a-beginners-guide-to-building-an-analytics-dashboard-cedf297e01f1

Potter, K. (2006). Methods for Presenting Statistical Information: The Box Plot. Extraído de: http://www.sci.utah.edu/~kpotter/publications/potter-2006-MPSI.pdf

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Diagrama de Barras con Python

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La gráfica de barras es una representación que utilizamos para mostrar datos categóricos de una forma resumida y con una distribución de frecuencia, frecuencia relativa o de frecuencia porcentual, donde un eje de la gráfica se muestran las etiquetas de las clases o categorías; mientras que en el otro eje de la gŕafica se coloca la escala de recurrencia (Anderson et al., 2016; Newbold et al., 2008).

Las variables categóricas nos ayudan a mostrar respuestas a grupos o categorías, las cuales pueden ser respuestas como: sí/no, totalmente en desacuerdo hasta totalmente de acuerdo; entre otras respuestas (Newbold et al., 2008).

Este tipo de gráfica las podemos emplear para llamar la atención sobre la frecuencia de una categoría, ya que nos ayuda a identificar las principales causas de los problemas o áreas de interés. Si el diagrama de barras se acomoda en orden descendente de altura, mostrando en la primera posición la causa que ocurre con mayor frecuencia, obtenemos el diagrama de Pareto, el cual nos ayuda a identificar estos problemas para corregirlos de una forma rápida, buscando el costo mínimo de la corrección (Anderson et al., 2016; Newbold et al., 2008).

Para elaborar el diagrama de barra con Matplotlib y Plotly utilizando Python, estaremos utilizando los datos del reporte de Excel sobre la pesca marina del 2020 de Canadá, que pueden ser descargado desde el siguiente enlace: https://open.canada.ca/data/en/dataset/288b6dc4-16dc-43cc-80a4-2a45b1f93383. El reporte de Excel y el código elaborado se encontrará disponible en el repositorio de GitHub: https://github.com/sdesignca/blog-ps-diagrama-barra-python

Donde supondremos que el lector está familiarzado con la sintaxis de Python y con el uso de Jupter Notebook; así mismo, como los conocimientos básicos de carga de datos a partir de archivos de Excel en Python utilizando Pandas. Si se desea conocer más sobre el método para cargar datos de archivos de Excel con Python, pueden leer sobre el tema en el siguiente enlace: http://www.solutiondesign.tech/cargando-datos-de-un-excel-en-python-con-pandas/

Gráfica de Barras con Python

Antes de iniciar con la elaboración de las gráficas importaremos la librería de Pandas con el alias pd, de la siguiente forma:

import pandas as pd

Luego de importar la librería de Pandas, cargaremos los registros del archivo de Excel “marine-finfish-data-2020.xlsx” y asignaremos el DataFrame a la variable datos. Se ha de mencionar que este archivo de Excel es un reporte con formato predefinido, por lo cual deberemos realizar la manipulación de la información para cargar los datos que deseamos, por medio de la función read_excel, donde estaremos omitiendo la lectura específica de filas y columnas, para cargar unicamente los datos del Peróxido de Hidrógeno (Hydrogen peroxide) de la provincia de New Brunswick, Canadá.

Imagen 1: Reporte de Excel con información de la pesca marina del 2020 de las provincias de Canadá.

01 - Reporte Excel

En la función read_excel, necesitamos especificar las filas que deseamos omitir en la carga de datos por medio del parámetro skiprows. Como este es un reporte que al descargar desde el sitio obtendremos el mismo formato, utilizaremos el siguiente fragmento de código para agregar a una lista o arreglo los números de filas que omitiremos para cargar únicamente la información de New Brunswick:

# omitimos el título del reporte y la información de donde se obtuvieron los datos
SKIPROWS = [0,1]

# omitimos la información luego del encabezado hasta New Brunswick
for row in range(3,68):
SKIPROWS.append(row)

# omitimos la información luego de los datos luego New Brunswick hasta el final
for row in range(96,109):
    SKIPROWS.append(row)

Teniendo las filas que desamos omitir en la variable SKIPROWS, utilizaremos el método read_excel para cargar la información de New Brunswick, en el cual cargaremos únicamente las columnas B (Facility Name) y H (Hydrogen peroxide). Si existe alguna duda sobre la carga de información desde un archivo de Excel, pueden leer el árticulo Cargando Datos de un Excel en Python con Pandas” en nuestro blog.

datos = pd.read_excel( "marine-finfish-data-2020.xlsx"
                      ,sheet_name="Marine Finfish 2020 Data"
                      ,skiprows= SKIPROWS
                      ,usecols="B,H")

Al ver la información cargados en la variable datos con la función head(), podemos observar que para la provincia de New Brunswick no hay valores para unas instalaciones.

datos.head()

Imagen 2: Primeros cinco registros del DataFrame contenido en la variable datos.

02 - Primer Análisis de Instalaciones

Por lo que eliminaremos los registros nulos (NaN) de la información del DataFrame, con la función dropna, en la que enviaremos el valor True en el parámetro inplace, el cual nos servirá para indicar que la eliminación de los datos nulos se aplique al dataframe de la variable, conservando únicamente las instalaciones con registros.

datos.dropna(inplace=True)

Para poder elaborar la gŕafica de Pareto, vamos a ordenar nuestra información por los datos de la columna Hydrogen peroxide utilizando el parámetro by de la función sort_value, donde indicaremos que se ordene de forma descendente, pasando en el parámetro ascending el valor False y por último indicaremos que los cambios sean aplicados a nuestra variable datos por medio del parámetro inplace con el valor True.

datos.sort_values( by='Hydrogen peroxide'
                  ,ascending=False
                  ,inplace=True)

Aplicando este ordenamiento, tenemos listos nuestros datos para ser graficados, por esta razón a lo largo de nuestra explicación, ya no se volverán a manipular los datos contenidos en el DataFrame de nuestra variable datos, por lo cual dicha variable será utilizada para realizar la gráfica con Matplotlib y Plotly.

Gráfica con Pandas y Matplotlib

Matplotlib es una librería utilizada en Python para realizar gráficas estáticas y animadas, a partir de datos contenidos en listas, vectores y en la extensión matemática NumPy (Potter, 2006).

Para poder realizar la gráfica de barras con Matplotlib y Pandas, necesitamos tener instalado el paquete, si no lo hemos instalado, podemos hacerlo por medio del comando pip o pip3. En mi caso usé pip3, por medio del siguiente comando desde la terminal o linea de comandos para su instalación:

                 pip3 install matplotlib

Teniendo instalada la librería de Matplotlib, importamos el paquete en nuestro archivo de Jupyter Notebook con el alias plt:

import matplotlib.pyplot as plt

Haciendo uso de la variable datos, utilizaremos el siguiente código para realizar la gráfica de barras, el cual deberemos ejecutar de forma conjunta en Jupyter Notebook, o de lo contrario la manipulación posterior a la creación de la gráfica será mostrada por separado en nuestro Jupyter Notebook:

ax = datos.plot(x="Facility Name", y="Hydrogen peroxide", kind="bar", grid=False)
ax.set_title('Presencia de Peróxido de Hidrógeno en New Brunswick, Canadá.')
ax.set_xlabel("Instalaciones")
ax.set_ylabel("Peróxido de Hidrógeno")
plt.show()

Revisando el funcionamiento del código, podemos ver en la primera linea que le asignamos a la variable ax la gráfica de Matplolib, en la que el parametro x corresponde al eje X de la gráfica, donde estaremos utilizando como dato la columna que contiene el nombre de la instalación (“Facility Name”). El parámetro “y es utilizado para indicar los datos del eje Y, donde estaremos utilizando la información de la columna que contiene los valores del peróxido de hidrógeno (“Hydrogen peroxide”), en el parámetro kind, indicaremos que será una gráfica de barras, por lo que enviamos la cadena o string “bar” y nuestra gráfica será generada sin un grid, por lo que enviamos en el parámetro grid el valor False.

ax = datos.plot(x="Facility Name", y="Hydrogen peroxide", kind="bar", grid=False)

Ahora manipulamos el objeto de nuestra gráfica utilizando la variable ax, donde le colocaremos un título descriptivo a nuestra grafica.

ax.set_title('Presencia de Peróxido de Hidrógeno en New Brunswick, Canadá.')

Con la siguiente función podemos agregar a nuestra gráfica un identificador para el eje X.

ax.set_xlabel("Instalaciones")

Con la siguiente función podemos agregar a nuestra gráfica un identificador para el eje Y.

ax.set_ylabel("Peróxido de Hidrógeno")

Y con la siguiente instrucción mostramos la gráfica. Es importante mencionar que en Jupyter Notebook no es necesario agregar esta instrucción, ya que el interprete mostrará la gráfica generada.

plt.show()

Por lo que obtendremos como resultado la gráfica de la imagen 3.

Imagen 3: Diagrama de pareto de la presencia de Peróxido de Hidrógeno en New Brunswick, Canadá.

03 - Diagrama de Barras Matplotlib

Gráfica con Plotly

Podemos utilizar Plotly para poder crear aplicaciones web de gráficas interactivas para crear dashboards dinámicos, pudiendo aprovechar esta librería en conjunto con Dash.

Para poder realizar la gráfica de barras con Plotly, necesitamos tener instalado el paquete, si no lo hemos instalado, podemos hacerlo por medio del comando pip o pip3. En mi caso haré uso de pip3, ejecutando el siguiente comando para su instalación:

                  pip3 install plotly

Luego debemos de importar la librería de plotly con el alias px.

import plotly.express as px

Teniendo importada la librería, utilizaremos el método bar() de plotly para realizar la gŕafica, donde el primer parámetro del método corresponde a la variable que contiene el DataFrame con los datos que deseamos gráficar; en nuestro caso es datos. Luego por medio del parametro x, indicaremos los datos eje X de nuestra gráfica, la cual corresponde al nombre de la columna que contiene el nombre de las instalaciones (Facility Name). El parámetro y nos sirve para indicar que datos del DataFrame que corresponderán al eje Y, el cual es la cantidad de peróxido de hidrógeno (Hydrogen peroxide) .

El parámetro title nos sive para colocar un nombre descriptivo a nuestra gráfica, y el parámetro labels nos sirve para cambiarle el nombre a los ejes de nuestra gráfica. Estos deben ser enviados como un diccionario de Python, por si se desea utilizar una variable para defirnir los nombres de forma separada.

fig = px.bar( datos
             ,x="Facility Name"
             ,y="Hydrogen peroxide"
             ,title="Presencia de Peróxido de Hidrógeno"
             ,labels={
                      "Facility Name": "Instalaciones",
                      "Hydrogen peroxide": "Peróxido de Hidrógeno"
                     }
               )

Por último, mostramos nuestra gráfica con el siguiente comando:

fig.show()

Es importante mencionar que en Jupyter Notebook, nuestra gráfica se mostrará sin necesidad de utilizar este último comando.

04 - Diagrama Barras Plotly

Referencias

Anderson, D., Sweeney, D., Williams, T., Camm, J. y Cochran, J. (2016). Estadística para negocios y economía. 12va edición. Ciudad de México, México. CENGAGE Learning.

Newbold, P., Carlson, W. y Thorne, B. (2008). Estadística para administración y economía. Madrid, España: PEARSON. 10, 14 – 15 pp.

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